Het gaat om de knikkers

Eindhoven – Een tijdje geleden schreef ik het volgende naar het digidagboek: Een lastiger wegingprobleem is het volgende: Gegeven twaalf knikkers waarvan er één zwaarder OF lichter is (je weet niet wat). Kan je de afwijkende knikker vinden met drie wegingen?

Vele lezers hebben zich over deze vraag gebogen. Vier mensen hebben een oplossing ingezonden. Dat hij een stuk lastiger was dat bleek want van die inzendingen was er slechts één correct: die van mijn vader.
Hieronder mijn oplossing en wat opmerkingen over hoe je die zou kunnen
vinden:


Oplossing:
Voor het gemak nummeren we de knikkers van 1 tot en met 12. Voer vervolgens de volgende wegingen uit:

Eerste weging: Knikkers 1, 2, 3, 4 tegen de knikkers 5, 6, 7, 8.
Tweede weging: Knikkers 1, 5, 9, 10 tegen de knikkers 2, 3, 8, 11.
Derde weging: Knikkers 1, 2, 6, 9 tegen de knikkers 3, 7, 10, 12.

Je hebt nu voldoende informatie om te bepalen welke knikker we zoeken en of hij lichter of zwaarder is. Om dat aan te tonen moeten we door alle mogelijkheden heen lopen. Bij elk resultaat van deze drie wegingen mag maar één uitkomst horen.

Laten we eerst aannemen dat de eerste weging niet in balans was. We doen nu alleen het geval dat 1, 2, 3, 4 zwaarder is dan 5, 6, 7, 8; de omgekeerde situatie gaat net zo. In dat geval is de gezochte knikker oftewel 1, 2, 3, 4 en zwaarder of 5,
6, 7, 8 en lichter. Omdat de knikkers 9 tot 12 nu zeker correct zijn, wordt weging 2 eigenlijk 1, 5, 9 tegen 2, 3, 8. Weging drie wordt 1, 2, 6 tegen 3, 7, 10.

We kijken nu hoe de tweede weging de mogelijkheden verder inperkt. Als 1, 5, 9 zwaarder is dan 2, 3, 8 zijn er twee mogelijkheden: 1 is zwaarder of 8 is lichter. Welke van deze het geval is volgt uit weging drie. Als 2, 3, 8 zwaarder is dan 1, 5, 9 dan is 2 of 3 zwaarder of is 5 lichter. Omdat weging drie knikker 2 met knikker 3 vergelijkt, maar daarbij niet knikker 5 betrekt, geeft weging drie opnieuw uitsluitsel.

Tenslotte is nog de mogelijkheid dat 1, 5, 9 in balans is met 2, 3, 8. Die situatie doet zich voor als 6 of 7 lichter is of als 4 zwaarder is. Ook in dit laatste geval geeft weging drie precies de ontbrekende informatie.

We zijn nu bijna klaar, maar om het verhaal af te maken moeten we nog uitzoeken wat er gebeurt als de eerste weging in balans was. Dan moet de afwijkende knikker nummer 9, 10, 11 of 12 zijn. De tweede en derde wegingen komen nu eigenlijk neer op 9, 10 tegen 8, 11en 6, 9 tegen 10, 12.
Als 9, 10 zwaarder is dan 8, 11 dan is de gezochte knikker 9 of 10 en zwaarder of 11 en lichter. Als 8, 11 zwaarder is dan 9, 10 dan is de gezochte knikker 9 of 10 en lichter of 11 en zwaarder. In beide situaties geeft weging drie uitsluitsel. Uiteindelijk is nog de mogelijkheid dat 9, 10 gelijk gewicht heeft als 8, 11. In dat geval is de afwijkende knikker nummer 12. Of hij lichter of zwaarder is moet uit weging drie blijken.
Dit is de hele oplossing. Maar hoe kom je er nou aan? Een manier is door al gaande goed in de gaten te houden hoeveel informatie je al hebt, en hoeveel je nog nodig hebt. Elk van de drie toegelaten wegingen kent drie mogelijke uitkomsten. In totaal kunnen deze wegingen hoogstens 3x3x3=27 mogelijke gevallen onderscheiden. Er zijn 24 gevallen, (namelijk 12 knikkers die ieder zwaarder of lichter kunnen zijn) dus dat gaat nog goed. Veronderstel eens dat we als eerste weging 1, 2, 3, 4, 5, 6 vergelijken met 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Je kunt inzien dat dat niet tot een goede oplossing kan leiden. Stel een dat de eerste groep zwaarder is, dat kan als 1, 2, 3, 4, 5 of 6 zwaarder is of doordat 7, 8, 9, 10, 11, 12 lichter is. In totaal zijn er dus nog 12 gevallen over. Maar de resterende twee wegingen kunnen slechts 3x3=9 gevallen onderscheiden. Dat gaat dus nooit meer
lukken.
Met dit soort argumenten kan je zien dat alleen starten met 4 knikkers tegen 4 knikkers goed uit kan komen. Ook voor de tweede wegingen blijkt dat er maar weinig combinaties zijn die werken. De oplossing is overigens niet uniek, andere combinaties van de knikkers werken ook.



Een bijdrage van Sander

---